Homomorfisme de grups

En matemàtiques, donats dos grups (G, ∗) i (H, ·), un homomorfisme de grups de (G, ∗) a (H, ·), de vegades dit senzillament morfisme de grups, és una funció h : G → H tal que per a tot u i v de G es compleix que

h(u*v)=h(u)\cdot h(v)

on l'operació de grup a l'esquerra de l'equació és la de G i la de la dreta és la d'H.

A partir d'aquesta propietat, es pot deduir que h fa correspondre l'element identitat e_G de G a l'element identitat e_H d'H, i també fa correspondre els elements inversos amb els elements inversos en el sentit que

h(u^{-1})=h(u)^{-1}.

Per això es pot dir que h "és compatible amb l'estructura de grup".

Demostració

Vegem primer que l'element neutre,

e_{G}

, del grup de sortida, G, va a parar a l'element neutre,

e_{H}

, del grup d'arribada, H:

Sigui $a\in G$ , com que G és un grup, $h(a)=h(a*e_{G})$ , i, per la definició d'homomorfisme, $h(a*e_{G})=h(a)\cdot h(e_{G})$ . Operant amb l'element invers de $h(a)$ pel costat esquerre a banda i banda obtenim $e_{H}=h(e_{G})$ , que és el que volíem demostrar.

A continuació, vegem que "la imatge de l'invers és l'invers de la imatge"; hem vist que:

$e_{H}=h(e_{G})$ , i tenim que $h(e_{G})=h(u*u^{-1})=h(u)\cdot h(u^{-1})$ . Multiplicant de nou, per l'esquerra, per l'invers de $h(u)$ , $h(u)^{-1}$ , obtenim:

h(u)^{-1}=h(u^{-1})

, que és el que volíem demostrar.

Les notacions antigues per a l'homomorfisme h(x) poden ser x_h, encara que això es pot confondre com un índex o un subíndex general. Una tendència més recent és escriure els homomorfismes de grup a la dreta dels seus arguments, ometent parèntesis, de manera que h(x) es converteix simplement en x h. Aquesta notació és especialment predominant en àrees de la teoria de grups on els autòmats hi tenen un paper significatiu, ja que concorda millor amb la convenció que els autòmats llegeixen les paraules d'esquerra a dreta.

En àrees de les matemàtiques on es tracta amb grups dotats d'una estructura addicional, un homomorfisme de vegades significa una funció que respecta no només l'estructura de grup (com s'ha explicat abans) sinó també l'estructura extra. Per exemple, s'exigeix sovint que un homomorfisme de grups topològics sigui continu. Aquest sentit es generalitza amb la noció de morfisme pròpia de la teoria de categories. Segons aquesta teoria els homomorfismes de grups són senzillament els morfismes de la categoria de grups.